Muestreo, aliasing y teorema de Nyquist

   Ya hemos hablado un poco sobre los tipos de imágenes, ahora vamos a centrarnos en el proceso de la adquisición, es decir, en el muestreo y en procesos asociados a éste, como el aliasing o "enmascaramiento". Aunque nos enfocamos en imágenes (sistemas espaciales 2D), los conceptos aquí discutidos aplican también para otro tipo de señales (temporales 1D, etc). 

Muestreo (sampling) y aliasing en imágenes digitales 

   En la formación de una imagen digital ocurre un proceso de muestreo (sampling), en el cual un objeto (identificado también como una función continua) es muestreado para obtener su imagen digital (obteniendo así una función discreta). El muestreo puede describirse a partir de la función delta de Dirac o función impulso. De este modo, el proceso de muestreo se realiza como se ejemplifica en la Figura 1. 

   En la parte izquierda de la Figura 1 se presentan las funciones en el dominio espacial y en la parte derecha se muestra la magnitud de la transformada de Fourier de cada función, en el dominio de la frecuencia. En la Figura 1a se muestra la señal de entrada, representada por la función continua ac(x), en la Figura 1b aparece la función discreta de muestreo i(x), la cual consiste en una serie de funciones delta escaladas; en la Figura 1c aparece la función discreta a(x) como resultado del proceso de muestreo. En la Figura 1e se muestra la señal reconstruida a partir del filtro de reconstrucción mostrado en la Figura 1d; se observa que la señal reconstruida es igual a la señal original. 

   

Figura 1. Proceso de muestreo sin aliasing. (a) Función continua ac(x), (b) función de muestreo discreta i(x), (c) función muestreada a(x), (e) señal reconstruida = señal original, (d) filtro de reconstrucción.

  La frecuencia a la cual se realiza el muestreo, ws, es importante ya que de ella depende que se presenten o no fenómenos espectrales como el aliasing. El aliasing ocurre cuando al muestrear la señal, la transformada de Fourier Ac(w) de la función original tiene componentes que se extienden más allá de ws/2, como se muestra en la Figura 2a y 2b. Esto ocasiona que las réplicas espectrales de la función muestreada se traslapen, como se observa en la Figura 2c. Por lo tanto, al reconstruir se obtiene una señal que es un alias de la señal original, como se muestra en la Figura 2e.

Figura 2. Proceso de muestreo con aliasing. (a) Función continua ac(x), (b) función de muestreo discreta i(x), (c) función muestreada a(x), (e) señal reconstruida = señal alias, (d) filtro de reconstrucción.

Teorema de muestreo de Nyquist

   Lo anterior da lugar al teorema de muestreo de Nyquist: 

Cualquier función limitada en banda, sin componentes en frecuencia que se extiendan más allá de Wmáx, puede ser completamente determinada a partir de un conjunto de muestras discretas si es muestreada a una frecuencia mayor que dos veces Wmáx.

  El teorema de muestreo establece así la condición que se debe de cumplir para que no exista aliasing: el muestreo debe realizarse a una frecuencia ws mayor o igual que el doble del máximo componente en frecuencia de la señal original. Es importante destacar que el muestreo, como se ha definido hasta aquí, no representa propiamente un proceso físico de medición, ya que en éste la función de muestreo asociada debe incluir una extensión espacial finita que refleje la resolución del detector empleado en la medición. La función delta empleada para el muestreo en las figuras anteriores puede ser interpretada como una función ideal de ancho infinitesimal, pero el muestreo físico es realizado usando funciones menos ideales. Para saber un poco más sobre la medición física en detectores digitales dar clic aquí.

Referencia: el handbook
Cunningham IA. “Applied Linear-Systems Theory”, in Handbook of Medical Imaging, Vol. 1, Physics and Psychophysics, edited by J Beutel, HL Kundel and RL Van Metter, Bellingham, WA. SPIE Press, 2000; 79-159.